Knock ノック

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log⁡103=0.4771 とする。  \log _{10} 3=0.4771 \text { とする。 }
(2) 3 進法で表すと 100 桁の自然数 NN を, 10 進法で表すと何桁の数になるか。

ヒント

解説・解答

✏️ ステップ 1

3進法で100桁の自然数 N N は、3のべき乗で表現できます。具体的には、399≤N<3100 3^{99} \leq N < 3^{100} という範囲にあります。

✏️ ステップ 2

この範囲を10進法で表すために、各辺の常用対数を取ります。
log⁡10(399)≤log⁡10N<log⁡10(3100) \log_{10}(3^{99}) \leq \log_{10} N < \log_{10}(3^{100})

✏️ ステップ 3

対数の性質を利用して、次のように変形します。
99log⁡103≤log⁡10N<100log⁡103 99 \log_{10} 3 \leq \log_{10} N < 100 \log_{10} 3

✏️ ステップ 4

与えられた log⁡103=0.4771 \log_{10} 3 = 0.4771 を代入して計算します。
99×0.4771≤log⁡10N<100×0.4771 99 \times 0.4771 \leq \log_{10} N < 100 \times 0.4771
47.2329≤log⁡10N<47.71 47.2329 \leq \log_{10} N < 47.71

✏️ ステップ 5

この範囲から、N N の桁数を求めます。
1047.2329≤N<1047.71 10^{47.2329} \leq N < 10^{47.71}
したがって、N N は 1047 10^{47} 以上 1048 10^{48} 未満の数であるため、N N を10進法で表すと48桁の数になります。

✅ 答え

48桁

公式・定理

この問題へのよくある質問

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