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sin⁡θ+cos⁡θ=22(0∘<θ<180∘)\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(0^{\circ}<\theta<180^{\circ}\right) のとき, 次の式の値を求めよ。 (1) sin⁡θcos⁡θ,sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin \theta \cos \theta, \sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta

ヒント

解説・解答

✏️ ステップ 1

まず、sin⁡θ+cos⁡θ=22\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} の両辺を2乗します。これにより、(sin⁡θ+cos⁡θ)2=12(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} となります。

✏️ ステップ 2

次に、(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta を展開します。

✏️ ステップ 3

公式 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 を使って、式を 1+2sin⁡θcos⁡θ=121 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} に変形します。

✏️ ステップ 4

この式を解いて、sin⁡θcos⁡θ=−14\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4} を求めます。

✏️ ステップ 5

次に、sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin^3 \theta + \cos^3 \theta を計算します。この式は、(sin⁡θ+cos⁡θ)(sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)(\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) に変形できます。

✏️ ステップ 6

sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1−(−14)=1+14=54\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} を計算します。

✏️ ステップ 7

最後に、sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)(54)=22×54=528\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta) (\frac{5}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{8} を求めます。

✅ 答え

(1) sin⁡θcos⁡θ=−14\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}, (2) sin⁡3θ+cos⁡3θ=528\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{5\sqrt{2}}{8}

公式・定理

この問題へのよくある質問

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