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関数 $y=4^{x+1}-2^{x+2}+2(x \leqq 2)$ の最大値と最小値を求めよ。

ヒント

解説・解答

✏️ ステップ 1

関数

y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 2

を簡単にするために、指数法則を使って変形します。まず、

4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}

と書き換えます。これにより、関数は

y = 2^{2x+2} - 2^{x+2} + 2

となります。

✏️ ステップ 2

変数を置き換えて式を簡単にします。ここで

2^x = t

と置くと、

2^{2x} = t^2

となります。したがって、関数は

y = 4t^2 - 4t + 2

に変わります。

✏️ ステップ 3

二次関数

y = 4t^2 - 4t + 2

を平方完成します。平方完成すると、

y = 4(t - \frac{1}{2})^2 + 1

となります。

✏️ ステップ 4

平方完成した式から、

y

の最小値は

t = \frac{1}{2}

のときに

y = 1

であることがわかります。また、

t

の範囲は

0 < t \leq 4

ですので、最大値は

t = 4

のときに

y = 50

となります。

✏️ ステップ 5

元の変数

x

に戻します。

t = 4

のとき、

2^x = 4

より

x = 2

です。また、

t = \frac{1}{2}

のとき、

2^x = \frac{1}{2}

より

x = -1

です。

✅ 答え

最大値は

x = 2

のとき

y = 50

、最小値は

x = -1

のとき

y = 1

です。

公式・定理

この問題へのよくある質問

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y=6\left(2^{x}+2^{-x}\right)-2\left(4^{x}+4^{-x}\right)

2^{x}+2^{-x}=t

とおくとき,

y

t

を用いて表せ。また,

y

の最大値を求めよ。