関数 $y=6\left(2^{x}+2^{-x}\right)-2\left(4^{x}+4^{-x}\right)$ について, $2^{x}+2^{-x}=t$ とおくとき, $y$ を $t$ を用いて表せ。また, $y$ の最大値を求めよ。

ヒント

解説・解答

✏️ ステップ 1

まず、与えられた関数

y = 6(2^{x} + 2^{-x}) - 2(4^{x} + 4^{-x})

において、

2^{x} + 2^{-x} = t

と置きます。この置き換えにより、式を簡単にすることができます。

✏️ ステップ 2

次に、

4^{x} + 4^{-x}

を

t

を用いて表現します。これは次のように変形できます：

4^{x} + 4^{-x} = (2^{x})^{2} + (2^{-x})^{2} = (2^{x} + 2^{-x})^{2} - 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} = t^{2} - 2

✏️ ステップ 3

これを用いて、元の関数を

t

の式に変換します：

y = 6t - 2(t^{2} - 2) = 6t - 2t^{2} + 4

y = -2t^{2} + 6t + 4

✏️ ステップ 4

次に、

y = -2t^{2} + 6t + 4

の最大値を求めます。これは二次関数の最大値の問題です。二次関数

y = ax^{2} + bx + c

の最大値は、頂点の

x

-座標

x = -\frac{b}{2a}

を用いて求められます。

✏️ ステップ 5

ここで、

a = -2

,

b = 6

なので、頂点の

t

-座標は

t = -\frac{6}{2 \times (-2)} = \frac{3}{2}

✏️ ステップ 6

しかし、

t = 2^{x} + 2^{-x} \geq 2

であることに注意します（相加平均と相乗平均の不等式より）。したがって、

t = \frac{3}{2}

は範囲外です。範囲内での最大値を確認するために、

t = 2

のときの

y

を計算します。

✏️ ステップ 7

t = 2

のとき、

y = -2(2)^{2} + 6(2) + 4 = -8 + 12 + 4 = 8

✅ 答え

したがって、

y

の最大値は

8

です。

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関数 $y=6\left(2^{x}+2^{-x}\right)-2\left(4^{x}+4^{-x}\right)$ について, $2^{x}+2^{-x}=t$ とおくとき, $y$ を $t$ を用いて表せ。また, $y$ の最大値を求めよ。

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解説・解答

✅ 答え

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✅ 答え

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