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log⁡103=0.4771 とする。  \log _{10} 3=0.4771 \text { とする。 }
(1) 3n3^{n} が 10 桁の数となる最小の自然数 nn の値を求めよ。

ヒント

解説・解答

✏️ ステップ 1

まず、3n3^n が10桁の数であるための条件を考えます。10桁の数は、109≤3n<101010^9 \leq 3^n < 10^{10} という範囲にあります。

✏️ ステップ 2

この不等式の両辺に常用対数を取ります。すると、log⁡10(109)≤log⁡10(3n)<log⁡10(1010)\log_{10}(10^9) \leq \log_{10}(3^n) < \log_{10}(10^{10}) となります。

✏️ ステップ 3

対数の性質を使って、log⁡10(3n)=n⋅log⁡103\log_{10}(3^n) = n \cdot \log_{10}3 に変形します。これにより、不等式は 9≤n⋅0.4771<109 \leq n \cdot 0.4771 < 10 となります。

✏️ ステップ 4

この不等式を解いて、nn の範囲を求めます。まず、左側の不等式 9≤n⋅0.47719 \leq n \cdot 0.4771 を解くと、n≥90.4771n \geq \frac{9}{0.4771} となります。次に、右側の不等式 n⋅0.4771<10n \cdot 0.4771 < 10 を解くと、n<100.4771n < \frac{10}{0.4771} となります。

✏️ ステップ 5

計算を行い、90.4771≈18.87\frac{9}{0.4771} \approx 18.87 と 100.4771≈20.96\frac{10}{0.4771} \approx 20.96 を求めます。この範囲内での最小の自然数を見つけます。

✅ 答え

n=19n = 19

公式・定理

この問題へのよくある質問

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