Knock ノック

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a1=3,an+1=2an+3n+1a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}+3^{n+1} によって定められる数列 {an}\left\{a_{n}\right\} の一般項を求めよ。

ヒント

解説・解答

✏️ ステップ 1

与えられた漸化式 an+1=2an+3n+1 a_{n+1} = 2a_n + 3^{n+1} を観察し、数列の初めの数項を計算してみます。例えば、a1=3 a_1 = 3 , a2=2×3+32=6+9=15 a_2 = 2 \times 3 + 3^2 = 6 + 9 = 15 など。

✏️ ステップ 2

漸化式を 3n+1 3^{n+1} で割って、新しい数列 bn=an3n b_n = \frac{a_n}{3^n} を定義します。すると、漸化式は次のように変形されます:
bn+1=23bn+1 b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + 1

✏️ ステップ 3

新しい漸化式 bn+1=23bn+1 b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + 1 を解きます。まず、対応する同次方程式 bn+1=23bn b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n の一般解を求めます。これは等比数列であり、一般解は bn=C(23)n b_n = C \left(\frac{2}{3}\right)^n です。

✏️ ステップ 4

次に、非同次方程式の特解を求めます。定数解 bn=A b_n = A を仮定すると、A=23A+1 A = \frac{2}{3}A + 1 となり、これを解くと A=3 A = 3 です。

✏️ ステップ 5

一般解は、同次方程式の一般解と特解の和として表されます:
bn=C(23)n+3 b_n = C \left(\frac{2}{3}\right)^n + 3

✏️ ステップ 6

初期条件 a1=3 a_1 = 3 を用いて定数 C C を求めます。b1=a13=1 b_1 = \frac{a_1}{3} = 1 より、
1=C⋅23+3 1 = C \cdot \frac{2}{3} + 3
これを解くと、C=−2 C = -2 となります。

✏️ ステップ 7

したがって、数列 bn b_n の一般項は
bn=−2(23)n+3 b_n = -2 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 3

✏️ ステップ 8

元の数列 an=bn⋅3n a_n = b_n \cdot 3^n に戻すと、
an=(−2(23)n+3)⋅3n=−2⋅2n+3n+1 a_n = \left(-2 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 3\right) \cdot 3^n = -2 \cdot 2^n + 3^{n+1}

✅ 答え

数列 {an} \{a_n\} の一般項は an=−2⋅2n+3n+1 a_n = -2 \cdot 2^n + 3^{n+1} です。

公式・定理

この問題へのよくある質問