Knock ノック

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sin⁡θ+cos⁡θ=22(0∘<θ<180∘)\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(0^{\circ}<\theta<180^{\circ}\right) のとき, 次の式の値を求めよ。 (2) sin⁡θ−cos⁡θ,tan⁡θ−1tan⁡θ\sin \theta-\cos \theta, \tan \theta-\frac{1}{\tan \theta}

ヒント

解説・解答

✏️ ステップ 1

まず、sin⁡θ+cos⁡θ=22\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} を使って、(sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin \theta + \cos \theta)^2 を計算します。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=(22)2=12 (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}

✏️ ステップ 2

次に、sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 を使って、sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta を求めます。
1+2sin⁡θcos⁡θ=12  ⟹  2sin⁡θcos⁡θ=−12  ⟹  sin⁡θcos⁡θ=−14 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \implies 2\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2} \implies \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}

✏️ ステップ 3

次に、(sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin \theta - \cos \theta)^2 を求めます。
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ=1−2(−14)=1+12=32 (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2\sin \theta \cos \theta = 1 - 2(-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

✏️ ステップ 4

sin⁡θ−cos⁡θ\sin \theta - \cos \theta の値を求めます。
sin⁡θ−cos⁡θ=32=62 \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}

✏️ ステップ 5

次に、tan⁡θ−1tan⁡θ\tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} を求めます。
tan⁡θ−1tan⁡θ=sin⁡2θ−cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ \tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}
ここで、
sin⁡2θ−cos⁡2θ=(sin⁡2θ+cos⁡2θ)−2cos⁡2θ=1−2(−14)=1+12=1.5 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 2\cos^2 \theta = 1 - 2(-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = 1.5
したがって、
tan⁡θ−1tan⁡θ=62(22)−14=−23 \tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})}{-\frac{1}{4}} = -2\sqrt{3}

✅ 答え

(1) sin⁡θ−cos⁡θ=62 \sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2} (2) tan⁡θ−1tan⁡θ=−23 \tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} = -2\sqrt{3}

公式・定理

この問題へのよくある質問

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